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为什么要考虑函数的可微性? - 简单微积分

来源:   日期:2019-01-15 08:35:00
导语:  
图灵新知 遇见数学

让我们放松下来,

轻松地去探索

微积分的本质吧!


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这里也再次感谢各位朋友对[遇见]的支持! 

下文节选自《简单微积分》, 已获人邮图灵授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢! 




微积分的真身

     微分的可能性

对于高中或者大学教材中的一些内容,一些学习者会产生这样的疑问:“这种理所当然的事情,为何还有学习的必要?”

这类内容其实比较难理解其意义,“可微性”就是其中一例。可微性在高中显露头角,到大学则会频繁出现。例如下面这个,

在原点不可微分。

图124 不可微函数的例子

或许有些读者并不了解,曲线顺滑(可以微分的)函数,它的极限也不一定可以微分。

这是比较专业的内容了,在这里简单地解释下。

图 125 表示的是“把顺滑的波按照一定规则,分别以 2 个( n = 2 )、3 个( n = 3 )、4 个( n = 4 )的形式合并出的图像”。右下方的函数是无限合并的波,叫作魏尔斯特拉斯函数。

向上滑动阅览简介及目录 

者:神永正博 

者:李慧慧

出版社:人民邮电出版社图灵新知

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本书为微积分入门科普读物,书中以微积分的“思考方法”为核心,以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义,解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切,没有烦琐计算、干涩理论,是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。

第 1章 积分是什么 1 

积分的存在意义 2 

积分应用的基础 2 

所有图形都与长方形相通 5 

近似的方法 8 

和变为了积分 13 

何为“接近精确值” 18 

两个思想实验 20 

椭圆的面积 20 

地球的体积 25 

切口的秘密 32 

卡瓦列利原理 32 

三分之一的原理 37 

圆锥的体积 45 

球的体积 48 

球的表面积 54 

感觉和逻辑 59 

初中入学考试中的积分 59 

像小学生那样求圆环体体积 67 

把甜甜圈变成蛇的方法 69 

帕普斯-古尔丁定理 73 



第 2章 微分是什么 77 

微分存在的意义 78 

分析钻石的价格 78 

“亮出指数”的理由 86 

乘积的微分公式 94 

从未知到已知 97 

商的微分公式 100 

再次扩展幂函数的微分公式 102 

丰富多彩的函数世界 105 

山峰和山谷 105 

了解切线 109 

根据单调性表画函数图像 113 

最大值和最小值、极大值和极小值 117 

手绘函数图像的意义 119 

存在休息平台的函数 121 

有预谋地使用微分 128 

理想的冰激凌蛋卷筒 128 

“忽略”与“不可忽略”的界线 138 



第3章 探寻微积分的可能性 141 

1800年后的真相 142 

反军队式学习法 142 

伟大的发现会成为未来的常识 144 

基本定理的使用方法 152 

填坑 160 

自然常数从何而来 160 

无限接近于精确的值 164 

关键在于根号 166 

转换思路能行得通吗 169 

指数函数出现了 175 

让关系更清晰 178 

唯一一个微分后不会发生变化的函数 181 

弯曲也没问题 184 

测量曲线的长度 184 

简洁的悬链线公式 187 

验证项链的长度 194 

微积分的真身 199 

微分的可能性 199 

微分相关的冒险 202 

近似和忽略 205 


后记 207 


尾注 209 



合并的波在有限数量范围内是顺滑的,但是无限合并顺滑的波形成的魏尔斯特拉斯函数却在所有的点上都无法微分。

图125 直到形成魏尔斯特拉斯函数

因为存在这种例子,所以数学家每次说“可不可以微分” 时,都会让人神经敏感。比如说不可微函数,一般也很难计算其最大值。

这是因为,如果不可微分,就无法使用

微分 = 0

这个方程式,即任何位置都不可微的函数的图像都无限复杂。

即使从局部来看,不可微函数的图像也并不单纯,这一点和可微函数存在本质上的不同。

可能有人会认为,这种病态函数难道不是罕见的例子吗?但是,事实并非如此。像海岸线那种锯齿状且无法微分的例子,真是一点儿也不罕见。(本节完)

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